Question

10．已知平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow b$，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点．
（1）用基底$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{NC}$；
（2）求证：M、N、C三点共线．并证明：CM=3MN．

Answer 1

分析 （1）利用向量线性运算，直接计算．
（2）（1）得$\overrightarrow{NC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$；即可得证．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$；
$\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）+\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$；
（2）由（1）得$\overrightarrow{NC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$；
∴M、N、C三点共线．且CM=3MN．

点评 本题考查了向量的线性运算，即向量的基本定理，属于中档题