Question

13．在平面直角坐标系xOy中，已知斜率为-1的直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（2，1）
（1）求椭圆的离心率；
（2）设椭圆的右焦点为F，且AF•BF=5，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）将直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得a和b的关系，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆方程；
（2）利用椭圆的第二定义，求得丨AF丨及丨BF丨，利用韦达定理即可求得b的值，即可求得椭圆方程．

解答 解：（1）由题意可知，l的方程为y=-x+3…（2分）
代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得（b²+a²）x²-6a²x+9a²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{{6{a^2}}}{{{b^2}+{a^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{9{a^2}-{a^2}{b^2}}}{{{b^2}+{a^2}}}$，①…（5分）
由AB中点为M（2，1）故$\frac{{6{a^2}}}{{{b^2}+{a^2}}}$=4，即a²=2b²，故$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，②
椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；…（8分）
（2）由①②知椭圆方程为：$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，x₁+x₂=4，x₁x₂=$6-\frac{2}{3}{b^2}$，
$\frac{丨AF丨}{\frac{{a}^{2}}{c}-{x}_{1}}$=e，则丨AF丨=a-ex₁，同理丨BF丨=a-ex₂，…（10分）
丨AF丨•丨BF丨=5，则（a-ex₁）（a-ex₂）=a²-ae（x₁+x₂）+e²x₁+x₂，
=$\frac{5}{3}$b²-4b+3=5，即，5b²-12b-6=0，解得：b=3，b=-$\frac{2}{5}$，…（14分）
则a²=2b²=18，
因此椭圆方程为：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$ …（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及椭圆第二定义，考查计算能力，属于中档题．