Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=

6

．
（1）证明：PC⊥BD；
（2）若E为PA的中点，求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，AC交于O点，由已知得PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥面PAC，由此能证明BD⊥PC．
（2）由V_E-ABC=V_B-AEC，利用等积法能求出三棱锥E-ABC的体积．

解答： （1）证明：连接BD，AC交于O点，（1分）
∵PB=PD，∴PO⊥BD，（2分）
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，（3分）
而AC∩PO=O，∴BD⊥面PAC，（5分）
∴BD⊥PC．（6分）
（2）解：由（1）知BD⊥面PAC，（7分）
S△AEC=

1

2

S△PAC=

1

2

×

6

×2

3

×sin45°=3，（9分）
∴V_E-ABC=V_B-AEC=

1

3

S△AEC•BO=

1

3

×3×

1

2

=

1

2

．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．