Question

已知函数f（x）=ax²+bx+

1

4

与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，由切线方程得到a，b的方程，即可得到f（x）的表达式，则不等式f（x-t）≤x即为

1

4

（x-t+1）²≤x，由于任意的x∈[1，9]，则有|x-t+1|≤2

x

，即有-2

x

-x≤1-t≤2

x

-x，
分别求出两边的最值，令1-t不大于最小值且不小于最大值，解出即可得到．

解答： 解：函数f（x）=ax²+bx+

1

4

的导数为f′（x）=2ax+b，
由于函数f（x）=ax²+bx+

1

4

与直线y=x相切于点A（1，1），
则2a+b=1，且a+b+

1

4

=1，解得a=

1

4

，b=

1

2

，
即有f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

即为f（x）=

1

4

（x+1）²，
不等式f（x-t）≤x即为

1

4

（x-t+1）²≤x，
由于任意的x∈[1，9]，则有|x-t+1|≤2

x

，
即有-2

x

-x≤1-t≤2

x

-x，
令

x

=m∈[1，3]，则2

x

-x=2m-m²=-（m-1）²+1∈[-3，1]，
-2

x

-x=-2m-m²=-（m+1）²+1∈[-15，-3]，
则有-3≤1-t≤-3，即有1-t=-3，即t=4．
故答案为：{4}

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用参数分离，属于中档题．