Question

已知函数f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞1）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的判断,对数函数的定义域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的解析式可得

1+x

1-x

＞0，即（x+1）（x-1）＜0，由此求得故函数的定义域．
（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数．
（Ⅲ）由f（x）＞0 可得

1+x

1-x

＞1，即2x（x-1）＜0，由此求得x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由函数f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞1），可得

1+x

1-x

＞0，即

x+1

x-1

＜0，
即（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
故函数为奇函数．
（Ⅲ）由f（x）＞0 可得

1+x

1-x

＞1，即

2x

x-1

＜0，2x（x-1）＜0，
解得 0＜x＜1，故所求的x的取值范围为（0，1）．

点评：本题主要考查对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断，解分式不等式，属于中档题．