Question

已知函数f(x)=2kx2+kx-

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．
（1）若f（x）有零点，求k的取值范围；
（2）若f（x）＜0对一切x∈R都成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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为二次函数，利用二次方程2kx²+kx-

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=0有实数根的条件△≥0即可求得答案；
（2）通过对k=0与k±0的讨论，利用函数恒成立问题解关于k的不等式即可．

解答： 解：（1）k=0时，f（x）=-

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，无零点，
∴k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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为二次函数．
∵f（x）=2kx²+kx-

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有零点，
∴二次方程2kx²+kx-

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=0有实数根，
∴△=k²-4×2k×（-

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）=k²+3k≥0，又k≠0，
解得：k＞0或k≤-3．
即k的取值范围为（-∞，-3]∪（0，+∞）．
（2）当k=0时，f（x）=-

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＜0对一切x∈R都成立，故k=0时符合题意；
当k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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为二次函数，
要使f（x）＜0对一切x∈R都成立，
必须满足

2k＜0 △=k2+3k＜0

，
解得：-3＜k＜0；
综上所述，f（x）＜0对一切x∈R都成立时k的取值范围为（-3，0]．

点评：本题考查函数的零点，着重考查函数恒成立问题，突出分类讨论思想的考查，属于中档题．