Question

18．已知f（x）=$\frac{1}{1+x}$．
（1）解不等式f（|x|）＞|f（2x）|；
（2）若0＜x₁＜1，x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），求证：$\frac{1}{3}$|x₂-x₁|＜|x₃-x₂|＜$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|．

Answer 1

分析 （1）对x的范围进行讨论，去绝对值符号解出；
（2）用x₁，x₂表示出|x₃-x₂|，求出（1+x₁）（1+x₂）的范围即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（|x|）＞|f（2x）|，即$\frac{1}{1+|x|}$＞|$\frac{1}{1+2x}$|，即$\left\{\begin{array}{l}{1+|x|＜|1+2x|}\\{x≠-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x≥0时，不等式为1+x＜1+2x，解得x＞0；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜0时，不等式为1-x＜1+2x，解得x＞0（舍）；
当x＜-$\frac{1}{2}$时，不等式为1-x＜-1-2x，解得x＜-2．
综上可知，不等式f（|x|）＞|f（2x）|的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（2）证明：∵0＜x₁＜1，∴x₂=f（x₁）=$\frac{1}{1+{x}_{1}}$＞$\frac{1}{2}$．
∴|x₃-x₂|=|$\frac{1}{1+{x}_{2}}$-$\frac{1}{1+{x}_{1}}$|=$\frac{|{x}_{2}-{x}_{1}|}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$，
∵（1+x₁）（1+x₂）=（1+x₁）（1+$\frac{1}{1+{x}_{1}}$）=2+x₁，
∴2＜（1+x₁）（1+x₂）＜3
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＜$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{3}$|x₂-x₁|＜$\frac{|{x}_{2}-{x}_{1}|}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＜$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|，
即$\frac{1}{3}$|x₂-x₁|＜|x₃-x₂|＜$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的性质，属于中档题．