Question

6．若函数y=-e^2-x的图象上任意一点关于点（1，0）的对称点都不在函数y=ln（m^mx^e）的图象上，则正整数m的取值集合为（　　）

• A． {1}
• B． {1，2}
• C． {2，3}
• D． {1，2，3}

Answer 1

分析 求出y=-e^2-x的对称函数，令两图象无交点得出恒等式mlnm＜e^x-elnx，利用导数求出右侧函数的最小值即可得出m的范围．

解答 解：函数y=-e^2-x关于点（1，0）的函数为y=e^x，
则y=e^x与y=ln（m^mx^e）=mlnm+elnx无公共点，
∴e^x-mlnm-elnx＞0恒成立，
即mlnm＜e^x-elnx恒成立，
设f（x）=e^x-elnx，则f′（x）=e^x-$\frac{e}{x}$，
令f′（x）=0得x=1，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=e，
∴mlnm＜e．即m^m＜e^e，
∴m＜e，
又m为正整数，
∴m=1或m=2．
故选B．

点评 本题考查了函数单调性与函数最值的计算，函数图象对称关系，属于中档题．