Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内（包括边）的动点，且A₁F∥平面D₁AE，下列说法错误的是（　　）

• A、点F的轨迹是一条线段
• B、A₁F与BE不在同一平面
• C、三棱锥F-A₁D₁A的体积为定值
• D、A₁F与D₁E不可能平行

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，判断A是否正确；
根据异面直线的判定定理，判断B是否正确；
利用点面距离的转化与棱锥的体积公式，判断C是否正确；
根据当F与M重合时，此时A₁F∥D₁E，可得D错误．

解答： 解：对A．设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN内的相交直线，∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此结合A₁F∥平面D₁AE，可得直线A₁F?平面A₁MN，即点F的轨迹是线段MN，∴A正确．
对B．由A知，平面A₁MN∥平面D₁AE，∴A₁F与D₁E不可能平行，∴B正确．
对C．∵F∈MN，MN?平面B₁MN，平面B₁MN∥平面AA₁D₁，∴VF-AA1D1=VB1-AA1D1，∴三棱锥F-A₁D₁A的体积为定值，∴C正确．
对D．当F与M重合时，∵M为BB₁的中点，此时A₁F∥D₁E，∴D错误．
故选：D．

点评：本题考查了空间直线与平面平行关系的判定与性质，考查了异面直线的判定及棱锥的体积公式，综合性较强，正确的作出图形是关键．