题目内容
已知点A（4，0），B（1，0），若动点T满足
•
=6|
|．
（1）求动点T的轨迹Γ；
（2）在x轴正半轴上是否存在一点P，过该点的直线l（不与x轴重合）与曲线Γ交于两点M，N，使得
+
为定值，若有求出P点坐标和定值，若不存在，说明理由．
| AB |
| AT |
| BT |
（1）求动点T的轨迹Γ；
（2）在x轴正半轴上是否存在一点P，过该点的直线l（不与x轴重合）与曲线Γ交于两点M，N，使得
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算
专题：向量与圆锥曲线
分析：（1）设出动点坐标，得到向量
，
，
的坐标，代入
•
=6|
|整理得到动点T的轨迹Γ；
（2）假设存在定点P（m，0）（m＞0），使得
+
为定值，设出M，N的坐标及直线l的方程x=ty+m，
把
+
用M，N的坐标及t表示，再把直线和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到M，N的纵坐标的关系，代入
+
整理得到关于m的表达式，然后由分子的系数关系求得m的值，则答案可求．
| AT |
| AB |
| BT |
| AB |
| AT |
| BT |
（2）假设存在定点P（m，0）（m＞0），使得
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
把
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
解答：
解：（1）设动点T（x，y），
∵A（4，0），B（1，0），
∴
=（x-4，y），
=（-3，0），
=（x-1，y），
代入
•
=6|
|，整理得：
+
=1；
（2）假设存在定点P（m，0）（m＞0），使得
+
为定值．
设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l：x=ty+m，
则|PM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12，|PN|2=(t2+1)y22．
∴
+
=
(
+
)=
=
（1）
联立x=ty+m与
+
=1，整理得：（3t2+4）y2+6tmy+3m2-12=0．
∴y1+y2=
，y1y2=
，代入（1）式得：
．
要使得上式为定值，须18m2+72=96-24m2，解得m=
，
此时
+
取到定值
．
∴当P为（
，0）时，
+
取到定值
．
∵A（4，0），B（1，0），
∴
| AT |
| AB |
| BT |
代入
| AB |
| AT |
| BT |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）假设存在定点P（m，0）（m＞0），使得
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l：x=ty+m，
则|PM|2=(x1-m)2+y12=(t2+1)y12，|PN|2=(t2+1)y22．
∴
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
| 1 |
| (t2+1) |
| 1 |
| y12 |
| 1 |
| y22 |
| 1 |
| (t2+1) |
| y12+y22 |
| y12y22 |
=
| 1 |
| (t2+1) |
| (y1+y2)2-2y1y2 |
| y12y22 |
联立x=ty+m与
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴y1+y2=
| -6tm |
| 3t2+4 |
| 3m2-12 |
| 3t2+4 |
|
要使得上式为定值，须18m2+72=96-24m2，解得m=
2
| ||
| 7 |
此时
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
| 7 |
| 9 |
∴当P为（
2
| ||
| 7 |
| 1 |
| |PM|2 |
| 1 |
| |PN|2 |
| 7 |
| 9 |
点评：本题考查轨迹方程，考查了向量在解题中的应用，体现了设而不求的解题思想方法，考查了学生的综合运算能力，是压轴题．
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