Question

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l同时满足条件：（ⅰ）过C₂的焦点F；（ⅱ）与C₁交于不同两点Q、R，且满足

OQ

⊥

OR

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知椭圆C₁的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN分别另交椭圆于M、N两点．当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2mx（m≠0），则有

y2

x

=2m，据此验证4个点知：(3，-2

3

)，（4，-4）在抛物线上，即可得出C₂：y²=4x．
设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把点（-2，0），(

2

，

2

2

)代入解出即可．
（II）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）．把直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，得到根与系数的关系，由

OQ

⊥

OR

，kd

OQ

•

OR

=x₁x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入解得k即可得出．
（III）设直线AM的斜率为k（k≠0），则AM：y=k（x+2），AN：y=-

1

k

(x+2)．f分别与椭圆的方程联立可得x_M，y_M．x_N，y_N．k可得MN的直线方程为y-

4k

1+4k2

=

-5k

4(k2-1)

(x-

2-8k2

1+4k2

)，令y=0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2mx（m≠0），则有

y2

x

=2m，据此验证4个点知：(3，-2

3

)，（4，-4）在抛物线上，
可得C₂：y²=4x．
设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把点（-2，0），(

2

，

2

2

)代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得

a2=4 b2=1

，
∴C₁的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）．
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消去y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，
于是x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

，…①
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=k2[

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1]=

-3k2

1+4k2

，…②
由

OQ

⊥

OR

，∴

OQ

•

OR

=x₁x₂+y₁y₂=0（*），
将①、②代入（*）式，得 

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2；
∴存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．
（Ⅲ）设直线AM的斜率为k（k≠0），则AM：y=k（x+2），AN：y=-

1

k

(x+2)．
则

y=k(x+2) x2+4y2=4

　化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
∵此方程有一根为-2，∴x_M=

2-8k2

1+4k2

，y_M=

4k

1+4k2

．
同理可得x_N=

2k2-8

k2+4

，yN=

-4k

k2+4

，
则k_MN=

yN-yM

xN-xM

=

-5k

4(k2-1)

．
∴MN的直线方程为y-

4k

1+4k2

=

-5k

4(k2-1)

(x-

2-8k2

1+4k2

)，
令y=0，则x=

16k(k2-1)

5k(1+4k2)

+

2-8k2

1+4k2

=-

6

5

．
∴直线MN过x轴上的一定点(-

6

5

，0)．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．