Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n}为等比数列；
（2）数列{a_n}满足b_n=a_n•（log₂a_n+1）（n∈N^*），求其前n项和的T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，易得a₁=1；当n≥2时，解得a_n=2a_n-1即a_n=2a_n-1（n≥2），且a₁=1，从而{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）得an=2n-1（n∈N^*）．可求出bn=2n-1•n，设Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1①，2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n②，①-②可解得Tn=(n-1)×2n+1．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=2a₁-1⇒a₁=1；
当n≥2时，

Sn=2an-1 Sn-1=2an-1-1

⇒an=2an-2an-1⇒an=2an-1；
即a_n=2a_n-1（n≥2），且a₁=1，
故{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列
（2）由（1）得an=2n-1（n∈N^*）．
∴bn=2n-1•n
设Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1①
2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n②
①-②：-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n×2n=

1×(1-2n)

1-2

-n×2n=(1-n)×2n-1
∴Tn=(n-1)×2n+1．

点评：本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．