题目内容
3．己知抛物线C1：x2=4y的焦点F，过点F的直线L与C1相交于AB两点，与C2：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}$=1相交于C，D两点，且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向．（1）若丨AC丨=丨BD丨，求直线L的斜率．
（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
分析 （1）设出点的坐标，根据向量的关系，得到（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；
（2）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．
解答 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
因为$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$同向，且|AC|=|BD|，
所以$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$，
从而x3-x1=x4-x2，即x1-x2=x3-x4，于是
（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，③
设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x2-4kx-4=0，而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1+x2=4k，x1x2=-4，④
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得（9+8k2）x2+16kx-64=0，而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3+x4=-$\frac{16k}{9+8{k}^{2}}$，x3x4=-$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$，⑤
将④⑤代入③，得16（k2+1）=（-$\frac{16k}{9+8{k}^{2}}$）2+4×$\frac{64}{9+8{k}^{2}}$，
所以（9+8k2）2=16×9，
解得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）由x2=4y得y′=$\frac{1}{2}$x，
所以C1在点A处的切线方程为y-y1=$\frac{1}{2}$x1（x-x1），
即y=$\frac{1}{2}$x1x-$\frac{1}{4}$x12，
令y=0，得x=$\frac{1}{2}$x1，
M（$\frac{1}{2}$x1，0），
所以$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{1}{2}$x1，-1），
而$\overrightarrow{FA}$=（x1，y1-1），
于是$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$x12-y1+1=$\frac{1}{4}$x12+1＞0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角，
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
点评 本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题．
| A． | （0，+∞） | B． | （0，2] | C． | [0，+∞） | D． | [2，+∞） |
| A． | 若方程x2+x-m=0有实根，则m＞0 | B． | 若方程x2+x-m=0没有实根，则m＞0 | ||
| C． | 若方程x2+x-m=0有实根，则m≤0 | D． | 若方程x2+x-m=0没有实根，则m≤0 |
