Question

对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁=f（x₀）；
②若x₁∉D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f（x₁），并依此规律继续下去．现定义f（x）=

4x-2

x+1

（1）若输出x₀=

49

65

，则由数列发生器产生数列{x_n}．请写出数列{x_n}的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x₀的值；
（3）是否存在 x₀，在输入数据x₀时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：程序框图

专题：压轴题

分析：（1）利用f（x）=

4x-2

x+1

，x₀=

49

65

及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{x_n}的只有三项；
（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有f（x）=

4x-2

x+1

，从而求出相应的初始数据x₀的值；
（3）设 x₀＜0，（n∈N^*），验证可知同时x₁，x₂，x₃使为负数的x₀不存在，故所求的x₀不存在．

解答： 解：（1）因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以数列{x_n}只有三项x₁=

11

19

，x₂=

1

5

，x₃=-1．
（2）因为f（x）=

4x-2

x+1

，即x²-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x₀=1或x₀=2时，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn，
故当x₀=1时，x_n=1；当x₀=2时，x_n=2（n∈N^*）．
（3）设 x₀＜0，（n∈N^*）
由x₁=

4x0-2

x0+1

＜0，得-1＜x0＜

1

2

；
由x₂=

14x0-10

5x0-1

＜0，得

1

5

＜x0＜

5

7

；
由x₃=

2(23x0-19)

19x0-11

＜0，得

11

19

＜x0＜

19

23

．
∵

1

2

＜

11

19

∴同时x₁，x₂，x₃使为负数的x₀不存在，故所求的x₀不存在．

点评：本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．