随机变量X的概率分布列如下表如示.且$P(X=n)=\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{10}.n=1\\ \frac{1}{n(n+1)}.n≥2且n∈z\end{array}\right.$.XX1X2X3-XnPp1p2p3-pn(Ⅰ)由分布列的性质试求n的值.并求随机变量X的分布列与数学期望,(Ⅱ)一个盒子里装有标号为1.2.-.n且质地相同的标签若干� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．随机变量X的概率分布列如下表如示，且$P（X=n）=\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{10}，n=1\\ \frac{1}{n（n+1）}，n≥2且n∈z\end{array}\right.$，

X	X₁	X₂	X₃	…	X_n
P	p₁	p₂	p₃	…	p_n

（Ⅰ）由分布列的性质试求n的值，并求随机变量X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不小于3的概率．

分析（Ⅰ）先求出n=4，由此能求出随机变量X的分布列和期望．
（Ⅱ）随机抽取一次取得标签的标号不小于3的概率为$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{2}{15}$，由此能求出恰好2次取得标签的标号小于3的概率．

解答（本题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意知 $\sum_{i=1}^n{P（X=i）=}\frac{7}{10}+\sum_{i=2}^n{\frac{1}{i（i+1）}}=\frac{7}{10}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}=1$，
解得n=4，
∴随机变量X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{7}{10}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{20}$

EX=$1×\frac{7}{10}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{1}{12}+4×\frac{1}{20}$=$\frac{89}{60}$．
（Ⅱ）随机抽取一次取得标签的标号不小于3的概率为$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{2}{15}$…（9分）
所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为$C_3^2{（{\frac{2}{15}}）^2}（1-\frac{2}{15}）$=$\frac{52}{1125}$…（13分）

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．