Question

10．已知函数f（x）=log_0.5（x-1）x∈[3，5]，
（1）设g（x）=f^-1（x），求g（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，使得关于x的不等式2^xg（2x）-mg（x）+1≤0有解？若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=f^-1（x），利用求反函数的方法求g（x）的解析式；
（2）令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$+1（x∈[-2，-1]），t∈[3，5]，2^xg（2x）-mg（x）+1≤0，即m≥1+$\frac{1}{{t}^{2}-t}$，求出右边的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）x∈[3，5]，f（x）=log_0.5（x-1）∈[-2，-1]，
由y=f（x）=log_0.5（x-1），可得x=$（\frac{1}{2}）^{y}$+1，
∴g（x）=f^-1（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$+1（x∈[-2，-1]）；
（2）令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$+1（x∈[-2，-1]），t∈[3，5]
2^xg（2x）-mg（x）+1≤0，即m≥1+$\frac{1}{{t}^{2}-t}$，
∵t∈[3，5]，
∴1+$\frac{1}{{t}^{2}-t}$的最小值为$\frac{21}{20}$，
∴m≥$\frac{21}{20}$．

点评 本题考查反函数的求法，考查有解问题，考查函数最小值的求法，属于中档题．