Question

20．曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.（α$为参数），M是曲线C₁上的动点，且M是线段OP的中点，P点的轨迹为曲线C₂，直线l的极坐标方程为$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，直线l与曲线C₂交于A，B两点．
（1）求曲线C₂的普通方程；
（2）求线段 AB的长．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则由条件知$M（{\frac{x}{2}，\frac{y}{2}}）$，由M点在曲线C₁上，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2cosα\\ \frac{y}{2}=2+2sinα\end{array}\right.$，利用平方关系化为普通方程即为曲线C₂的普通方程．
（2）直线l的方程为$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离公式，利用弦长公式可得：|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）设P（x，y），则由条件知$M（{\frac{x}{2}，\frac{y}{2}}）$，
∵M点在曲线C₁上，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2cosα\\ \frac{y}{2}=2+2sinα\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=4cosα\\ y=4+4sinα\end{array}\right.$，
化为普通方程为x²+（y-4）²=16，即为曲线C₂的普通方程．
（2）直线l的方程为$ρsin（{x+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，化为直角坐标方程为x+y-2=0．
由（1）知曲线C₂是圆心为（0，4），半径为4的圆，
∵圆C₂的圆心到直线l的距离$d=\frac{{|{4-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{14}$．

点评 本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．