Question

已知函数f（x）=m²（lnx）²+（-3m+1）lnx在区间（e，e²）上是单调增函数，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：分类讨论，当m=0时符合要求，当m≠0时，利用导数求出极值点，得到极值点和e的关系，继而得到关于m的一元二次不等式，解得即可．

解答： 解：当m=0时，f（x）=lnx为单调增函数，符合要求
当m≠0时，
f′（x）=2m²lnx•

1

x

+

-3m+1

x

=

1

x

[2m²lnx-3m+1]，
令f′（x）=0，解得x₀=e

3m-1

2m2

当f′（x）＞0时，即x＞x₀，单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＜x₀，单调递减，
∴x₀≤e
即：

3m-1

2m2

≤1，
即2m²-3m+1≥0，
∴（2m-1）（m-1）≥0，
解得m≥1，或m≤

1

2

，
综上所述，m的取值范围是（-∞，

1

2

]∪{0}∪[1，+∞）
故答案为（-∞，

1

2

]∪{0}∪[1，+∞）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及一元二次不等式的解法，培养了学生分类讨论和转化的能力，属于中档题