Question

已知定点F₁（-1，0），F₂（1，0），曲线E是以原点为顶点、F₂为焦点且离心率为1的圆锥曲线，椭圆C与曲线E的交点为A，B，且点A到点F₁，F₂的距离之和为4．
（1）求椭圆C和曲线E的方程；
（2）在椭圆C和曲线E上是否存在这样的点P，使得△PAB的面积为

8 6

9

？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若平行于x轴的直线分别与椭圆C和曲线E交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，且x₁＞x₂，求△MNF₂的周长t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得曲线E是以F₂（1，0）的抛物线，从而求出曲线E的方程为y²=4x．椭圆C的焦点坐标是F₁（-1，0），F₂（1，0），且长轴长2a=4，由此能求出椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）联立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，得3x²+16x-12=0，求出x₁，由此根据已知条件能求出满足条件的点P的坐标．
（3）设直线MN为y=a（-

3

＜a＜

3

），联立

y=a x 2 4 + y2 3 =1

，得x1=2

1- a2 3

，联立

y=a y2=4x

，得x2=

a2

4

，△MNF₂的周长t=x1-x2+

y12+(x1-1)2

+

y22+(1-x2)2

，由此能求出△MNF₂的周长t的取值范围．

解答： 解：（1）∵F₂（1，0），曲线E是以原点为顶点、F₂为焦点且离心率为1的圆锥曲线，
∴曲线E是以F₂（1，0）的抛物线，
∴曲线E的方程为y²=4x．
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），椭圆C与曲线E的交点为A，B，
且点A到点F₁，F₂的距离之和为4，
∴椭圆C的焦点坐标是F₁（-1，0），F₂（1，0），且长轴长2a=4，
∴a=2，c=1，b²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）联立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，得3x²+16x-12=0，
解得x₁=

2

3

，x₂=-6，（舍）
∵椭圆C与曲线E的交点为A，B，∴A（

2

3

，-

2 6

3

），B（

2

3

，

2 6

3

），
∴|AB|=

4 6

3

，且直线AB⊥x轴，
如果在椭圆C和曲线E存在点P，使得△PAB的面积为

8 6

9

，
则

1

2

|AB|×|xP-

2

3

|=

8 6

9

，即

2 6

3

|xp-

2

3

|=

8 6

9

，
解得x_p=2或x_p=-

2

3

，
在y²=4x中，当x_p=2时，解得y_p=±2

2

；当x_p=-

2

3

时，无解；
在

x2

4

+

y2

3

=1中，当x_p=2时，y_p=0；当x_p=-

2

3

时，yp=±

2 6

3

，
∴满足条件的点P的坐标有：（2，-2

2

），（2，2

2

），（2，0），（-

2

3

，-

2 6

3

），（-

2

3

，

2 6

3

）．
（3）设直线MN为y=a（-

3

＜a＜

3

），
联立

y=a x 2 4 + y2 3 =1

，得x1=2

1- a2 3

，
联立

y=a y2=4x

，得x2=

a2

4

，
∴△MNF₂的周长t=x1-x2+

y12+(x1-1)2

+

y22+(1-x2)2

=2

1- a2 3

-

a2

4

+

5- a2 3 -4 1- a2 3

+

a2 2 + a4 16 +1

=3-

1- a2 3

，
∵-

3

＜a

3

，
∴3-1＜t＜3-0，即2＜t＜3．
∴△MNF₂的周长t的取值范围是（2，3）．

点评：本题考查椭圆C和曲线E的方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，考查△MNF₂的周长t的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．