Question

已知关于x的方程x²+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以m，n为横、纵坐标的点A（m，n）表示的平面区域D．若函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据关于x的方程x²+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率，可得方程x²+mx+m+n=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围．

解答： 解：构造函数f（x）=x²+mx+m+n
∵关于x的方程x²+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率
∴方程x²+mx+m+n=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞）
∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴

m+n＞0 1+2m+n＜0

∵直线m+n=0，1+2m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜log_a（-1+4）
∴log_a3＞1=log_aa，
∵a＞1
∴1＜a＜3
故答案为：（1，3）．

点评：本题以方程根为载体，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想，确定平面区域是解题的关键．