某工厂欲加工一件艺术品.需要用到三棱锥形状的坯材.工人将如图所示的长方体ABCD-EFQH材料切割成三棱锥H-ACF．(Ⅰ)若点M.N.K分别是棱HA.HC.HF的中点.点G是NK上的任意一点.求证:MG∥平面ACF,(Ⅱ)已知原长方体材料中.AB=2.AD=3.DH=1.根据艺术品加工需要.工程师必须求出该三棱锥的高,甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFQH材料切割成三棱锥H-ACF．
（Ⅰ）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；
（Ⅱ）已知原长方体材料中，AB=2，AD=3，DH=1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求三棱锥H-ACF的高h．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．

分析（Ⅰ）证明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，然后证明平面MNK∥平面ACF，最后证明MG∥面ACF．
（Ⅱ）分别以DA，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．求出平面ACF的一个法向量求出向量$\overrightarrow{AH}$与平面ACF的一个法向量的正弦函数值，然后求解三棱锥H-ACF的高即可．

解答解：（Ⅰ）证明：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK?平面ACF，AF?平面ACF，
∴MK∥平面ACF，同理可证MN∥平面ACF，
∵MN，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，
∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊆面MNK，∴MG∥面ACF．…（6分）
（Ⅱ）解：分别以DA，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
则有A（3，0，0），C（0，2，0），F（3，2，1），H（0，0，1），…（7分）
$\overrightarrow{AC}=（-3，2，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，2，1）$，$\overrightarrow{AH}=（-3，0，1）$，
设平面ACF的一个法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=-3x+2y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=2y+z=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}y\\ z=-2y\end{array}\right.$，令y=3，则$\overrightarrow n=（2，3，-6）$，…（9分）
∴$sinθ=|\frac{{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AH}||\overrightarrow n|}}|=\frac{12}{{7•\sqrt{10}}}=\frac{{6\sqrt{10}}}{35}$，…（11分）

∴三棱锥H-ACF的高为$AH•sinθ=\frac{{6\sqrt{10}}}{35}•\sqrt{10}=\frac{12}{7}$．…（12分）