Question

2．如图：已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°，且C₁C=CD=1．
（1）试用$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$表示$\overrightarrow{C{A_1}}$，并求|${\overrightarrow{C{A_1}}}$|；
（2）求证：CC₁⊥BD；
（3）试判断直线A₁C与面C₁BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量线性运算的几何意义得出，通过计算${\overrightarrow{C{A}_{1}}}_{\;}$²得出|$\overrightarrow{C{A}_{1}}$|；
（2）通过计算$\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}$=0得出CC₁⊥BD；
（3）通过计算数量积证明CA₁⊥BD，CA₁⊥BC₁，于是直线A₁C⊥平面C₁BD．

解答 解：（1）$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$+$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$，
${\overrightarrow{C{A}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{C{C}_{1}}}^{2}$+${\overrightarrow{CB}}^{2}$+${\overrightarrow{CD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}$+2$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{C{C}_{1}}$
=1+1+1+2×1×1×$\frac{1}{2}$+2×1×1×$\frac{1}{2}$+2×1×1×$\frac{1}{2}$=6，
∴$|{\overrightarrow{C{A_1}}}|=\sqrt{6}$．
证明：（2）∵$\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$•（$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$）=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{C{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CB}$=$1×1×\frac{1}{2}-1×1×\frac{1}{2}$=0，
∴$\overrightarrow{C{C_1}}⊥\overrightarrow{BD}$，
∴CC₁⊥BD．
（3）$\overrightarrow{C{A}_{1}}$$•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{C{C}_{1}}$+$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$）•（$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$）
=${\overrightarrow{CD}^2}-\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{CB}^2}+\overrightarrow{C{C_1}}•\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{C{C_1}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-1+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$=0，
∴$\overrightarrow{C{A_1}}⊥\overrightarrow{BD}$，∴CA₁⊥BD．
同理可证CA₁⊥BC₁，
∵BC₁?面BDC₁，BD?面BDC₁，BC₁∩BD=B，
∴A₁C⊥面C₁DB．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．