Question

3．已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3}{4}$π，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，求cos2β．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）和cos（α-β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]的值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3}{4}$π，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，
∴α+β∈（π，$\frac{3π}{2}$），α-β∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sin（α+β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，
∵cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{12}{13}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{12}{13}$+$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．