Question

已知函数f（x）=

x2+2x+3

x

，x∈[2，+∞），
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）＞a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用导数研究函数的单调性即可得出；
（2）由于f（x）＞a恒成立，可得a＜[f（x）]_min，利用（1）即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

x2+2x+3

x

=x+

3

x

+2，x∈[2，+∞），
f′（x）=1-

3

x2

=

x2-3

x2

＞0，
∴函数f（x）在x∈[2，+∞）单调递增，
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=

11

2

．
（2）∵f（x）＞a恒成立，
∴a＜[f（x）]_min，
由（1）可得a＜

11

2

．
∴a的取值范围是(-∞，

11

2

)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．