Question

3．已知函数f（x）=6x²+x-1．
（Ⅰ）求f（x）的零点；
（Ⅱ）若α为锐角，且sinα是f（x）的零点．
（ⅰ）求$\frac{{tan（{π+α}）•cos（{-α}）}}{{cos（{\frac{π}{2}-α}）•sin（{π-α}）}}$的值；
（ⅱ）求$sin（{α+\frac{π}{6}}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令f（x）=6x²+x-1=0，即可解得x的值．
（Ⅱ）（ⅰ）由α为锐角，可求sinα的值，利用诱导公式即可计算得解．
（ⅱ） 由α为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）令f（x）=6x²+x-1=0
得零点$x=\frac{1}{3}$或$x=-\frac{1}{2}$．-----------------------------（4分）（写成点坐标扣1分）
（Ⅱ）由α为锐角，所以$sinα=\frac{1}{3}$---------------------------------（6分）
（ⅰ） $\frac{{tan（{π+α}）•cos（{-α}）}}{{cos（{\frac{π}{2}-α}）•sin（{π-α}）}}=\frac{tanα•cosα}{sinα•sinα}$--------------------（8分）
=$\frac{1}{sinα}=3$--------------------（10分）
（ⅱ） 由α为锐角，所以$cosα=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$--------------------（12分）
可得：$sin（{α+\frac{π}{6}}）$=$\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}•\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}}{6}$--------------------（15分）

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．