题目内容

7．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

分析 如图所示，由题意可得：MF1⊥MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a-c，|F1F2|=2c，利用勾股定理可得c2+（2a-c）2=4c2，即可得出．

解答 解：如图所示，
由题意可得：MF1⊥MF2，
|MF2|=c，|MF1|=2a-c，|F1F2|=2c，
∴c2+（2a-c）2=4c2，
化为c2+2ac-2a2=0，即e2+2e-2=0，e∈（0，1）．
解得e=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．21B．-21C．41D．61

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