Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+1，a∈R，记F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；
（Ⅱ）求函数F（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若函数F（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义，即可求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；
（Ⅱ）求函数F（x）的导数，利用函数导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；
（Ⅲ）根据函数F（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论．

解答： 解：（ I）f′（x）=

1

x

，则函数f（x）在x=e处的切线的斜率为k=

1

e

．
又f（e）=1，
所以函数f（x）在x=e处的切线方程为y-1=

1

e

(x-e)，即y=

1

e

x．

（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-1，F′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，（x＞0）．
①当a≤0时，F′（x）＞0，F（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，令F′（x）＜0，解得x＞

1

a

；
令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

．
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的增区间是(0，

1

a

)，减区间是(

1

a

，+∞)．

（Ⅲ）依题意，函数F（x）没有零点，
即F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-1=0无解．
由（Ⅱ）知，当a＞0时，函数F（x）在区间(0，

1

a

)上为增函数，区间(

1

a

，+∞)上为减函数，
由于F（1）=-a-1＜0，只需F（

1

a

）=ln

1

a

-a•

1

a

-1=-lna-2＜0，
解得a＞e^-2．
所以实数a的取值范围为（

1

e2

，+∞）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数的单调性和导数之间的关系，考查学生的运算能力．