Question

已知f（x）=x²+a|x-1|+1，若f（x）≥0恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：f（x）≥0恒成立，即x²+a|x-1|+1≥0恒成立，分类讨论，分离参数，利用基本不等式，即可求a的范围．

解答： 解：f（x）≥0恒成立，即x²+a|x-1|+1≥0恒成立，
若x=1，x²+1≥0恒成立；
若x＞1，a≥

x2+1

1-x

，令1-x=t（t＜0），则

x2+1

1-x

=t+

2

t

-2≤-2

2

-2（t=-

2

时取等号），∴a≥-2

2

-2；
若x＜1时，a≥

x2+1

x-1

，令x-1=t（t＜0），则

x2+1

x-1

=t+

2

t

+2≤-2

2

+2（t=-

2

时取等号），∴a≥-2

2

+2，
综上，a≥-2

2

+2．

点评：本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．