Question

已知α、β∈（0，

π

2

），sinα-sinβ=-

1

2

  ， cosα-cosβ=

1

2

，求sin（α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由于sinα-sinβ=-

1

2

①，cosα-cosβ=

1

2

②，利用①²+②²可求得cos（α-β）=

3

4

，进一步分析得到-

π

2

＜α-β＜0，从而可求sin（α-β）的值．

解答： 解：∵sinα-sinβ=-

1

2

①，cosα-cosβ=

1

2

②，
①²+②²得：sin²α+sin²β-2sinαsinβ+cos²α+cos²β-2cosαcosβ=

1

2

，
即2-2cos（α-β）=

1

2

，
∴cos（α-β）=

3

4

；
又α、β∈（0，

π

2

），cosα-cosβ=

1

2

，
∴0＜α＜β＜

π

2

，
∴-

π

2

＜α-β＜0，
∴sin（α-β）=-

1-cos2(α-β)

=-

7

4

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查α-β范围的确定，求得-

π

2

＜α-β＜0是关键，也是难点，易错点，属于中档题．