Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，分别求出平面ABC₁D₁和平面A₁B₁CD的一个法向量，并证明这两个平面互相垂直．

Answer 1

考点：平面的法向量,向量的数量积判断向量的共线与垂直

专题：空间向量及应用

分析：如图所示建立空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积的关系可得平面的法向量，再利用线面垂直的性质、面面垂直的判定定理即可证明．

解答： 解：设D为原点，分别以DA，DC，DD₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），
A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）．
则

AB

=（0，1，0），

BC1

=（-1，0，1）．
设平面ABC₁D₁的一个法向量为

n1

=（x，y，z），则

n1

•

AB

=y=0，

n1

•

BC1

=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．
故

n1

=（1，0，1）．
设平面A₁B₁CD的一个法向量为

n2

，同理，可求

n2

=（-1，0，1），
∵

n1

•

n2

=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，
∴

n1

⊥

n2

．
∴平面ABC₁D₁⊥平面A₁B₁CD．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系可得平面的法向量、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．