Question

已知函数f（x）=ln（a^x-b^x）（0＜b＜1＜a）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域G，并判断f（x）在G上的单调性；
（Ⅱ）当a、b满足什么条件时，f（x）在区间[1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由a^x-b^x＞0得（

a

b

）^x＞1，结合条件和指数函数的单调性，即可得到定义域；再由指数函数和对数函数的单调性，即可得到所求的单调性；
（Ⅱ）根据所求的单调性，即可得到所求区间的最小值，令最小值大于0，即可得到满足的条件．

解答： 解：（Ⅰ）由a^x-b^x＞0，得（

a

b

）^x＞1，
由于0＜b＜1＜a，则

a

b

＞1，即有x＞0，
则定义域为（0，+∞）；
由于0＜b＜1＜a，则a^x递增，b^x递减，则a^x-b^x递增，
即有f（x）在（0，+∞）上递增；
（Ⅱ）由于f（x）在（0，+∞）上递增，
则f（x）在区间[1，+∞）上恒取正值，即为f（x）≥f（1）=ln（a-b），
即有ln（a-b）＞0，即有a-b＞1．
则有当a、b满足a-b＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上恒取正值．

点评：本题考查函数的单调性及运用，考查指数函数和对数函数的单调性及运用，属于中档题．