Question

已知：圆C：x²+y²-2y-4=0，直线l：mx-y+1=m．
（1）求证：对于任意的m∈R，直线l与圆C恒有两个不同的交点；
（2）若直线l与圆C交于A、B两点，|AB|=

17

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：常规题型,直线与圆

分析：（1）根据直线是过圆内的一个定点的直线证明直线l与圆C恒有两个不同的交点；
（2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于m的方程．

解答： 解：（1）直线l：mx-y+1=m的方程可化为m（x-1）-y+1=0
∴直线l过定点（1，1），
圆C：x²+y²-2y-4=0的方程可化为：x²+（y-1）²=5
∴点（1，1）在圆内
所以直线与圆恒有两个交点．
（2）∵|AB|=

17

，r=

5

∴圆心到直线l的距离为：d=

5- 17 4

=

3

2

∴

|-1+1-m|

m2+1

=

3

2

解得：m=±

3

．

点评：解决第（1）问的关键是把直线与圆的问题转化为直线过的定点与圆的位置关系问题；第（2）问关键是利用弦长的一半，半径和弦心距构成的直角三解形求出弦心距..