Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）
（1）求证：{a_n+1-2a_n}成等比数列
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件，推出S_n=4a_n-1+2，利用a_n+1=S_n+1-S_n，然后求证：{a_n+1-2a_n}成等比数列
（2）利用（1）求出通项公式，得到递推关系式，判断新数列是等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）由Sn+1=4an+2(n∈N*)①得：当n≥2时有：S_n=4a_n-1+2②，
①-②可得：a_n+1=4a_n+2-（4a_n-1+2），∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
由等比数列的定义知：{a_n+1-2a_n}是以3为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（2）由（1）可得：an+1-2an=3•2n-1，于是：

an+1-2an

2n-1

=3，即

an+1

2n-1

-

an

2n-2

=3，
又

a1

2-1

=2，故{

an

2n-2

}是以2为首项，3为公差的等差数列，于是：

an

2n-2

=2+3(n-1)=3n-1，所以an=(3n-1)2n-2…（13分）

点评：本题考查数列的应用，等比数列的判定，数列的递推关系式的应用，考查转化思想．