Question

已知函数f（x）=

x-1

ax

-lnx（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：ln

e2

x

≤

1+x

x

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）=

x-1

ax

-lnx的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=

1

ax2

-

1

x

=

1-ax

ax2

=

1 a -x

x2

；由导数确定函数的单调性；
（2）ln

e2

x

≤

1+x

x

可化为1-

1

x

-lnx≤0，故令a=1，化简f（x）=

x-1

x

-lnx=1-

1

x

-lnx，从而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x-1

ax

-lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1

ax2

-

1

x

=

1-ax

ax2

=

1 a -x

x2

；
①当a＜0时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，+∞）上是减函数，
②当a＞0时，
当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，当x∈（

1

a

，+∞），f′（x）＜0；
故函数f（x）的单调增区间为（0，

1

a

），单调减区间为（

1

a

，+∞）；
（2）证明：由（1）知，令a=1，
f（x）=

x-1

x

-lnx=1-

1

x

-lnx在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
故1-

1

x

-lnx≤f（1）=1-1-0=0；
故-lnx≤

1

x

-1；
故2-lnx≤

1

x

+1；
即ln

e2

x

≤

1+x

x

．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质应用，属于中档题．