Question

17．关于函数f（x）=xln|x|的五个命题：
①f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是单调递增函数；
②f（x）只有极小值点，没有极大值点；
③f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（0，1）；
④函数f（x）在x=1处的切线方程为x-y+1=0；
⑤函数g（x）=f（x）-m最多有2个零点．
其中，是真命题的有①（请把真命题的序号填在横线上）．

Answer 1

分析 当x＞0时，可得f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减；在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增．可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值-$\frac{1}{e}$
又∵函数f（x）=xln|x|为奇函数，故其图象如下，根据图象可判定①②③⑤；
④，求得x=1处的切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程，即可判断；

解答 解：当x＞0时，可得f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减；在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增．可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值-$\frac{1}{e}$
又∵函数f（x）=xln|x|为奇函数，故其图象如下：

根据图象
对于①，f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是单调递增函数，故①正确；
对于②，f（x）有极小值点，有极大值点，故②错；
对于③，f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），故③错；
对于④，函数f（x）在x=1处的切线斜率为1，切点为（1，0），即有切线的方程为y=x-1，故④错；
对于⑤，函数g（x）=f（x）-m最多有3个零点，故错；
故答案为：①

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，同时考查函数的零点的个数，注意运用转化思想、数形结合思想，属于中档题．