Question

9．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y-3）+f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=0恒成立，则$\frac{y}{x}$的取值范围是[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.3]．

Answer 1

分析 推导出f（x）为奇函数，y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，从而$\frac{y}{x}$可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，由此能求出$\frac{y}{x}$的取值范围．

解答 解：函数y=f（x）的图象可由y=f（x-1）的图象向左平移1个单位得到，
由于y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于原点对称，
则f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），
则等式f（y-3）+f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=0恒成立，
即为f（y-3）=-f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=f（-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$），
又f（x）是定义在R上的增函数，则有y-3=-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$，
两边平方可得，（x-2）²+（y-3）²=1，
即有y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，
则$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$，可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，
如图，k_OA=$\frac{3-0}{1-0}$=3，取得最大，过O作切线OB，设OB：y=kx，
则由d=r得，$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得，k=2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由于切点在下半圆，则取k=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即为最小值．则$\frac{y}{x}$的取值范围是$[{2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，3}]$．
故答案为：$[{2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，3}]$．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．