Question

12．
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）设$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为$\frac{{9\sqrt{10}}}{50}$，求λ的值；
（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．
（2）求出平面CDB₁的法向量和面CDB₁的一个法向量，利用向量法能求出二面角D-CB₁-B的余弦值．

解答 解：（1）由AC=3，BC=4，AB=5，得∠ACB=90°…（1分）
以CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），
设D（x，y，z），则由$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{CD}=（3-3λ，4λ，0）$，
而$\overrightarrow{A{C_1}}=（-3，0，4）$，
根据$\frac{{9\sqrt{10}}}{50}=|\frac{-9+9λ}{{5\sqrt{25{λ^2}-18λ+9}}}|$，解得，$λ=\frac{1}{5}$或$λ=-\frac{1}{3}$．…（5分）
（2）$\overrightarrow{CD}=（\frac{3}{2}，2，0），\overrightarrow{C{B_1}}=（0，4，4）$，
设平面CDB₁的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得面CDB₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（4，-3，3）$，…（7分）
而平面CBB₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$，
并且$＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞$与二面角D-CB₁-B相等，
所以二面角D-CB₁-B的余弦值为$cosθ=cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{2}{17}\sqrt{34}$．　…（10分）
（第（1）题中少一解扣（1分）；没有交代建立直角坐标系过程扣（1分）．第（2）题如果结果相差符号扣（1分）．）

点评 本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．