Question

17．如图，AB是⊙O的直径，AC，DE分别是⊙O的切线，切点分别为A，E，BC交⊙O于E．
（Ⅰ）证明：D为AC的中点；
（Ⅱ）若⊙O的半径为$\sqrt{3}$，CE=1，求DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AE，证明∠CDE=∠CED，得到CD=DA，即可证明：D为AC的中点；
（Ⅱ）由射影定理可得，AE²=CE•BE，求出AE，利用Rt三角形CEA，求DE的长．

解答 （Ⅰ）证明：连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，
由DE，CA为圆O的切线，得∠DEA=∠B，∠DAE=∠B，
∴∠DEA=∠DAE，∴DE=DA
∵∠CAE+∠C=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=DA，
∴D为AC的中点．…（5分）
（Ⅱ）解：在Rt三角形CAB中，由CE=1，AB=$2\sqrt{3}$，
设 AE=x，则$BE=\sqrt{12-{x^2}}$，
由射影定理可得，AE²=CE•BE，
∴${x^2}=\sqrt{12-{x^2}}$，解得x=$\sqrt{3}$，
在Rt三角形CEA中，∵CA=2，又（Ⅰ）D为AC的中点，∴DE=1   …（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，属于中档题．