Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求平面APD与平面PBC所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出平面APD与平面PBC所成二面角（锐角）的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
且PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，∠BAD=60°，
∴AC⊥BD，PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{3}$，0，0），P（$\sqrt{3}$，0，2），D（0，-1，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），
设平面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-\sqrt{3}$，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=\sqrt{3}a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}a-b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴平面APD与平面PBC所成二面角（锐角）的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．