Question

3．点M在抛物线C：x²=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（　　）

• A． 点Q在圆M内
• B． 点Q在圆M上
• C． 点Q在圆M外
• D． 以上结论都有可能

Answer 1

分析 设切点的坐标，可得切线方程，进而可得N，M的坐标，即可得出结论．

解答 解：设P（a，b），则
∵x²=2py，∴y=$\frac{1}{2p}$x²，∴y′=$\frac{x}{p}$，
∴过P的切线的方程为y-b=$\frac{a}{p}$（x-a），即y=$\frac{a}{p}$x-b，
令y=0，可得x=$\frac{pb}{a}$=$\frac{a}{2}$，
代入抛物线C：x²=2py，可得y=$\frac{p{b}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{b}{4}$，
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{4}$）
OP的中点为Q（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），∴|MQ|=$\frac{b}{4}$，
∴点Q在圆M上，
故选：B．

点评 本题考查抛物线与圆的方程的综合，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．