Question

如图，O为坐标原点，双曲线C₁：

x2

a 2 1

-

y2

b 2 1

=1（a₁＞0，b₁＞0）和椭圆C₂：

y2

a 2 2

+

x2

b 2 2

=1（a₂＞b₂＞0）均过点P（

2 3

3

，1），且以C₁的两个顶点和C₂的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C₁交于A、B两点，与C₂只有一个公共点，且|

OA

+

OB

|=|

AB

|？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由条件可得a₁=1，c₂=1，根据点P（

2 3

3

，1）在上求得b12=3，可得双曲线C₁的方程．再由椭圆的定义求得a₂=

3

，可得b22=a22-c22的值，从而求得椭圆C₂的方程．
（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由

y=kx+m x2- y2 3 =1

可得y₁•y₂=

3k2-3m

k2-3

．由

y=kx+m y2 3 + x2 2 =1

可得 （2k²+3）x²+4kmx+2m²-6=0，根据直线l和C₁仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k²=m²-3，可得

OA

•

OB

≠0，可得|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．综合（1）、（2）可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C₂的焦距为2c₂，由题意可得2a₁=2，∴a₁=1，c₂=1．
由于点P（

2 3

3

，1）在上，∴(

2 3

3

)2-

1

b12

=1，b12=3，
∴双曲线C₁的方程为：x²-

y2

3

=1．
再由椭圆的定义可得 2a₂=

( 2 3 3 -0)2+(1-1)2

+

( 2 3 3 -0)2+(1+1)2

=2

3

，∴a₂=

3

，
∴b22=a22-c22=2，∴椭圆C₂的方程为：

y2

3

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．
（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=

2

，或 x=-

2

．
当x=

2

时，可得 A（

2

，

3

）、B（

2

，-

3

），求得|

OA

+

OB

|=2

2

，|

AB

|=2

3

，
显然，|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．
同理，当x=-

2

时，也有|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．
（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由

y=kx+m x2- y2 3 =1

 可得
（3-k²）x²-2mkx-m²-3=0，∴x₁+x₂=

2km

3-k2

，x₁•x₂=

m2+3

k2-3

．
于是，y₁•y₂=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3k2-3m

k2-3

．
由

y=kx+m y2 3 + x2 2 =1

可得 （2k²+3）x²+4kmx+2m²-6=0，根据直线l和C₁仅有一个交点，
∴判别式△=16k²m²-8（2k²+3）（m²-3）=0，∴2k²=m²-3．
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

-k2-3

k2-3

≠0，∴(

OA

+

OB

)2≠(

OA

-

OB

)2，
∴|

OA

+

OB

|≠|

AB

|．
综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．

点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．