Question

20．已知G为△ABC所在平面上一点，且$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，∠A=60°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，则|$\overrightarrow{AG}}$|的最小值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AG}$，利用基本不等式得出AB²+AC²的最小值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，∴G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
∴${\overrightarrow{AG}}^{2}$=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{9}$（AB²+AC²）+$\frac{4}{9}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$AB•AC=2，∴AB•AC=4，
∴AB²+AC²≥2AB•AC=8，
∴${\overrightarrow{AG}}^{2}$≥$\frac{8}{9}+\frac{4}{9}$=$\frac{4}{3}$．
∴|$\overrightarrow{AG}$|≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．