题目内容
已知
=（5
cosx，cosx），
=（sinx，2cosx），函数f（x）=
•
+|
|2．
（1）求函数y=f（x）的周期和对称轴方程；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| b |
（1）求函数y=f（x）的周期和对称轴方程；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间．
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）由已知中已知
=（5
cosx，cosx），
=（sinx，2cosx），函数f（x）=
•
+|
|2，结合降次升角公式及和差角公式，将函数解析式化为正弦型函数，进而由正弦型函数的图象和性质，求出函数y=f（x）的周期和对称轴方程；
（2）由（1）中函数解析式及2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，求出自变量x的取值范围，可得函数y=f（x）的单调递减区间．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| b |
（2）由（1）中函数解析式及2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
解答：
解：（1）∵
=（5
cosx，cosx），
=（sinx，2cosx），
∴
•
=5
cosxsinx+2cos2x，|
|2=sin2x+4cos2x…（2分）
∴f(x)=5
cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x=5
cosxsinx+6cos2x+sin2x…（3分）
=
sin2x+5
+1=
sin2x+
+
…（5分）
=5(sin2x•
+cos2x•
)+
=5sin(2x+
)+
…（6分）
∵ω=2，
∴T=
=π； …（7分）
由2x+
=kπ+
，
得x=
+
，k∈Z为对称轴方程； …（9分）
（2）由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，得：
kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z…（12分）
所以函数的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z…（13分）
| a |
| 3 |
| b |
∴
| a |
| b |
| 3 |
| b |
∴f(x)=5
| 3 |
| 3 |
=
5
| ||
| 2 |
| 1+cos2x |
| 2 |
5
| ||
| 2 |
| 5cos2x |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
=5(sin2x•
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 7 |
| 2 |
∵ω=2，
∴T=
| 2π |
| 2 |
由2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
（2）由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
所以函数的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查的知识点是两角差的正弦函数公式，三角函数的周期性，对称性及单调区间，是三角函数图象和性质的综合应用，难度中档．
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