Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）．
（1）若x=

π

6

，求向量

a

与

c

的夹角；
（2）当x∈[

π

2

，

9π

8

]时，求函数f（x）=2

a

•

b

+1的最大值，并求此时x的值．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）当x=

π

6

时，可得

a

=（

3

2

，

1

2

），由夹角公式可得；
（2）由数量积和三角函数的运算可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），由x∈[

π

2

，

9π

8

]和三角函数的性质可得答案．

解答： 解：（1）设

a

与

c

的夹角为θ，
当x=

π

6

时，

a

=（

3

2

，

1

2

），
∴cosθ=

a • c

| a || c |

=

3 2 ×(-1)+ 1 2 ×0

( 3 2 )2+( 1 2 )2 • (-1)2+02

=-

3

2

．
∵θ∈[0，π]，∴θ=

5π

6

．
（2）由题意可得f（x）=2

a

•

b

+1
=2（-cos²x+sin xcos x）+1
=2sin xcos x-（2cos²x-1）
=sin 2x-cos 2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[

π

2

，

9π

8

]，∴2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
∴当2x-

π

4

=

3π

4

，即x=

π

2

时，f（x）_max=

2

2

点评：本题考查平面向量的夹角，涉及三角函数的取值范围，属中档题．