题目内容

函数f（x）=-
1
2
2x-x2
+
x
+
2-x
的最大值为
 
．
考点：函数的最值及其几何意义,二次函数在闭区间上的最值
专题：转化思想
分析：设t=
x
+
2-x
，将函数转化为关于t的二次函数，利用二次函数最值的求法进行求解．
解答： 解：设 t=
x
+
2-x
，那么t2=2+2
2x-x2
，
f(x)=-
1
4
(t2-2)+t=-
1
4
(t-2)2+
3
2
≤
3
2
，
当且仅当t=2即x=1时等号成立，
故答案为
3
2
．
点评：本题考查了换元法的应用，利用换元法将函数转化为二次函数是求函数最值的一种重要的方法．
练习册系列答案
相关题目
设非零向量
a
，
b
，
c
，满足|
a
|=|
b
|=|
c
|，
a
+
b
=
c
，
b
与
c
的夹角为（　　）
A、60°B、90°
C、120°D、150°
已知数列{an}中，an+1=Sn-n+3，n∈N*，a1=2．
（Ⅰ）求证：当n≥2，n∈N*时，{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式；
（Ⅲ）利用错位相减法求出Tn，即可证明不等式
1
3
≤Tn＜
4
3
（n∈N*）．
设函数f（x）=x2-1．对任意x∈[
3
2
，+∞），f（
x
sinθ
）-（4sin2θ）f（x）≤f（x-1）+4f（sinθ），恒成立，若θ∈（0，π），求θ的范围．
数列{an}满足：a1=6，an+1=an2+4an+2，（n∈N*）
（Ⅰ）设Cn=log2（an+2），求证：{Cn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=
1
an-2
-
1
a
2
n
+4an
，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
7
30
≤Tn＜
1
4
．
已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AE=CE．
（1）求证：CA2=CE•CD；
（2）已知CD=5，AE=3，求sin∠EAF．
设A，B分别是直线y=
2
2
x和y=-
2
2
x上的两个动点，且|
AB
|=
2
，O为坐标原点，动点P满足
OP
=
OA
+
OB
．
（1）记动点P的轨迹为C，求C的方程
（2）过点（
3
，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，与轨迹C的相交弦分别为MN，EF，设弦MN，EF的中点分别为G，H，求证：直线GH恒过一个定点．
设Tn为数列{an}的前n项的积，即Tn=a1•a2…•an．
（1）若Tn=n2，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}满足Tn=
1
2
（1-an）（n∈N*），证明数列{
1
Tn
}为等差数列，并求{an}的通项公式；
（3）数列{an}共有100项，且满足以下条件：
①a1•a2…•a100=2；
②a1•a2…•ak+ak+1•ak+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．
（Ⅰ）求a5的值；
（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？
如图，已知AB是圆O的直径，圆O交BC于D，过点D作圆O的切线DE交AC于点E，且DE⊥AC．求证：AC=2OD．

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