Question

如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，

CM

MP

=

BN

NA

=2．
（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PA⊥平面ABCD，∠PDA=60°，且PD=DC=BC=2，求几何体M-ABC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）在梯形ABCD中依据AD∥BC，推断出0C：OA=BC：AD=2，又由于BN=2NA，继而可知AN∥BC∥AD，在△PAC中，根据比例关系推断出OM∥AP，最后利用面面平行的判定定理证明出平面MNO∥平面PAD； 
（Ⅱ）在△PAD中，利用余弦定理求得PA，进而可知PA²+AD²=PD²，推断出PA⊥AD，又根据平面PAD⊥平面ABCD推断出PA⊥平面ABCD，进而证明出MO⊥平面ABC利用MO的值，求得AB，求得底面的面积最后利用体积公式求得几何体M-ABC的体积．

解答： 证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴0C：OA=BC：AD=2，
又BN=2NA，
∴ON∥BC∥AD，
∵AD?平面PAD，ON?平面PAD，
∴ON∥平面PAD，
在△PAC中，
∵OC：OA=BC：AD=2，CM=2MP，
∴OM∥AP，
AP?平面PAD，OM?平面PAD，
∴OM∥平面PAD，
∵OM?平面OMN，ON?平面OMN，且OM∩ON=0，
∴平面MNO∥平面PAD；                                 
（Ⅱ）在△PAD中，PA²=PD²+AD²-2PD•AD•cos∠PDA=3
∴PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD
∴PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知OM∥AP，
∴MO⊥平面ABC
且MO=

2

3

AP=

2 3

3

在梯形ABCD中，CD=BC=2AD=2，
∠BAD=90°，
∴AB=

3

，
∴△ABC的面积S=

1

2

AB•BC=

3

∴几何体M-ABC的体积V=

1

3

MO•S=

2

3

点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定定理，几何体的体积公式等．考查了学生基础知识的综合运用．