Question

20．已知圆M：（x+1）²+y²=1圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线与曲线C交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS=∠OTR？若存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）确定PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|，可得曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b²=a²-c²=3，即可求E的方程；
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．

解答 解：（1）设动圆P的半径为r，由已知|PF₁|=r+1，|PF₂|=3-r，
则有|PF₁|+|PF₂|=4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为$\sqrt{3}$的椭圆（左顶点除外），其方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{x≠-2}）$．…（5分）
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\ 3{x^2}+4{y^2}-12=0\end{array}\right.$得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$①，其中△＞0恒成立，…（7分）
由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k_TS+k_TR=0即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0②，
由R，S两点在直线y=k（x-1）上，故 y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入②整理有2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0③…（9分）
将①代入③即有：$\frac{6t-24}{3+4{k}^{2}}$=0④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．…（12分）

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，属于中档题．