Question

15．某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；
（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；
（Ⅲ）试估计样本的中位数与平均数．
（注：将频率视为相应的概率）

Answer 1

分析 （I）由频率分布图中小矩形面积之和为1，能求出a=0.015，能由此估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率．
（Ⅱ）从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种，利用列举法能求出学生代表M，N至少一人被选中的概率．
（Ⅲ）由频率分布直方图能求出样本的中位数和平均数．

解答 解：（I）a=0.1-（0.03+0.025+0.02+0.01）=0.015，
估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为0.85
（Ⅱ）从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种，分别为：
AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN，
代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：
AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN，
设”学生代表M，N至少一人被选中”为事件D，P（D）=$\frac{7}{10}$
∴学生代表M，N至少一人被选中的概率为$\frac{7}{10}$．
（Ⅲ）由频率分布直方图得样本的中位数为：$\frac{70+80}{2}$=75，
平均数为：55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.015×10=76.5．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．