Question

15．已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=$\sqrt{2}$，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为3π．

Answer 1

分析 求出P到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC为截面圆的直径，AC=$\sqrt{3}$，由勾股定理可得R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+d²=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-d）²，求出R，即可求出球的表面积．

解答 解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=$\sqrt{3}$，
设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，
∵PA=PB=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴PA⊥PB，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴P到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由勾股定理可得R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+d²=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-d）²，
∴d=0，R²=$\frac{3}{4}$，
∴球的表面积为4πR²=3π．
故答案为：3π．

点评 本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．