Question

10．如图1，已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别为边AD、AB的中点．将△ABC沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．如图2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：DG∥平面ABE；
（Ⅱ）求直线CE与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连接FG，EF，则四边形为平行四边形，于是DG∥EF，从而得出DG∥平面ABE；
（II）以O为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{CE}$和平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞|即为直线CE与平面ABC所成角的正弦值．

解答 证明：（I）连接FG，E
∵F，G分别是AB，AC的中点，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，又DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$DE．
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴DG∥EF，又DG?平面ABE，EF?平面ABE，
∴DG∥平面ABE．
（II）在图1中，∵E，F分别是正方形AD，AB的中点，∴BE⊥CF．
故在图2中，OF⊥BE，OC⊥OB．
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴OF⊥平面BCDE．
以O为原点，以OB，OC，OF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），B（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0，0），C（0，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0），E（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-z=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（2，1，4）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}$=-2$\sqrt{5}$．cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CE}|}$=-$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∴直线CE与平面ABC所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞|=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．